Рассмотрим опубликованные ответы.
Немного побешу всех (в том числе себя), нормируя вероятность по сотне, а не единице.
Den (
тык)
Начал излагать понятный алгоритм решения, но потом что-то напутал. А именно: нет необходимости двигать точку - ты начинаешь строить множество хорд, полученное альтернативным построением, но уже включённое в рассмотренное множество при описании первого построения. Фиксируя одну точку на окружности и двигая другую, ты получаешь некую группу хорд, из которой все возможные можно получить сдвигом точки A (или поворотом круга если на нём есть некая точка для наблюдений C). Но генерить остальные хорды нет необходимости, т.к. отношение "подходящих" и "неподходящих" хорд останется прежним из соображений симметрии. Т.о. правильный ответ 240/360=
66% .
Samodelkin (
тык)
Как по заказу начал излагать другой известный алгоритм. Но, немного не дотянул: в качестве меры надо было использовать не длины дуг, а расстояния на перпендикуляре, проведённом из центра круга, к хордам. А именно: расстояние от центра до первой хорды, меньше радиуса, к длине всего перпендикуляра, т.е. радиуса круга. Т.е. на построении мы получим равносторонний треугольник со стороной R. Пусть основание треугольника - пограничная хорда, тогда отношение высоты, опущенной на это основание (на самом деле - любой высоты, т.к. они одинаковы в равностороннем треугольнике, но семантически правильнее, взять именно эту высоту) к радиусу круга - есть искомая вероятность.
Длины дуг плохи, как меры отношения количества хорд, тем, что они нелинейны - на их величины влияют и длины хорд, а не только их количество.
Т.о. правильный ответ (да, это типичный школьный треугольник, но мне тригонометрия милее) R*cos(30) / R = sqrt(3) / 2 =
87% .
Далее
Igor срывает покровы, но, хорошо, что делает это "под катом".
Затем
решение от
ABTOMAT, начертанное твёрдой рукой инженера. Максимально формально (и это, в общем-то, хорошо) он начинает выводить взаимосвязь между углом сектора и хордой, опирающейся на дуги, этим сектором ограниченные. Закономерно получает правильный ответ в
66% .
У внимательного читателя к этому моменту должен возникнуть вопрос: какого хрена два существенно разных ответа (
66% и
87%) названы "правильными". На самом деле, существует ещё третий вариант -
75%. И он тоже "правильный". Этим задачка и "офигенна". Когда я решал её, то решил методом, который изложил (учитывая мои правки)
Samodelkin,
alex-mad решил её методом
Den-ABTOMAT-а. Мы немного подискутировали, после чего заглянули в ответы.
Та-дам:
Мы ещё немного порадовались, и тут коллега нам сообщила, что это ведь
Парадокс Бертрана . В задачнике нет отсылки к парадоксу. Собственно, и задача рассматривается несколько другая, но алгоритмы и разнообразие ответов остаются. Почитайте на досуге статью из вики - про
Решение Джейнса с использованием принципа неопределенности в частности.
А ещё "охрененность" задачи в том, что решив задачу методом «случайного радиуса» в одиночку, я бы сел её проверять путём моделирования, где бы отталкивался от определения хорды и генерил их методом «случайных концов». Данный подход бы привёл к расхождению результатов и поискам мистического бага.