Запилили в стандарте:
http://wiki.ecmascript.org/doku.php?id=harmony:classes
Но стандарт ECMA6 будет закончен к концу 2014 года только. Классы - весьма большая фича и она будет одной из последних реализована в броузерах. Но уже сейчас много чего есть, например FF уже зарелизили Generators (yield) что весьма большая фича и расширяет язык - можно делать свои итераторы, иметь контролируемый async code flow, и многое другое.
Вот отличная таблица совместимостей. В последней колонке (Node Harmony) - это если запускать node.js со спец флагом, можно юзать уже. Chrome и Node будут паралельны в этой таблице, т.к. оба используют общий стак технологий для JS.
Firefox же радует, что весьма лидирует по имплементации фичей, например arrow functions у FF уже давно.
http://kangax.github.io/es5-compat-table/es6/