forum.boolean.name - ТеорВер

Готовился я на неделе к экзамену по дисциплине Надёжность Информационно-Управляющих Систем («НИУС», «Надёжность»).
Дошёл черёд до вопроса: «Выражение показателей надёжности в случае экспоненциального распределения».
Итак:

Открываем первый же линк:

«вероятность безотказной работы как функция времени» - не что иное как: «функция распределения вероятности безотказной работы». Почему данная формула отличается от канонического вида, автор объяснить постеснялся, а потом, вероятно и сам забыл. Забыл, но делать-то что-то надо, поэтому «среднее время безотказной работы» (которое не что иное как «математическое ожидание времени отказа») автор считает по непонятной формуле: площадь фигуры, ограниченной сверху функцией распределения вероятности безотказной работы. Мало того, что данная формула неверна, давайте попробуем решить предложенный автором интерграл на «МатКАД-е»:

Очевидно, что экспонента превратится на бесконечности в ноль, т.е. ответ вроде бы верный.
Начнём с того, что формула неверна – мат. ожидание считается так:

fx – дифференциальная функция распределения, или плотность распределения. Находится как производная от функции распределения, пробуем:

Напоминаю: величина лямбда – положительная константа, а время (по логике задачи) не может быть меньше нуля, т.о. мы получаем отрицательную плотность умноженную на неотрицательную величину, т.е. мы получаем монотонно убывающую функцию с максимумом в точке (0;0). Очевидно, что попытка посчитать такую хрень не даст ничего хорошего – мат.ожидание выйдет отрицательным, т.е. прибор сломается проработав минус N секунд, т.е. ещё до включения.

Причём чем меньше вероятность отказа, тем раньше прибор сломается. В идеальном случае (при лямбда равной нулю) объект сломается сразу же (минус бесконечность) – вероятно, ещё на стадии его изобретения.
Как видим всё портит знак минус при производной. Очевидно, что минус указывает на характер первообразной – она убывает. Между тем, интегральная функция распределения убывать не может, т.к. это означает в нашем случае, что за, допустим, 10 минут сломается два объекта, за 20 минут – один, а если они будут работать 3 часа, то вообще все останутся целыми.
На самом деле, приведённая функция (как уже говорилось выше) – «функция распределения вероятности безотказной работы», т.е. функция надёжности, а отказ – функция с так сказать обратным ей по вероятности распределением.
Короче говоря, глава (учебника?) должна начинаться так:

Обратите внимание – моё вывод отталкивается от канонической формулы для экспоненциального распределения, но не противоречит безудержному потоку мыслей автора (единственное, в последнем слове ошибся).
Теперь посчитать среднюю наработку просто:

Вернемся к «народному» сайту:

Проверяем:

Обе экспоненты улетают в ноль быстрее, чем их множители в бесконечность; -[0+0-1]=1; умножаем это на выставленный перед интегралом (а затем пределом) минус и получаем отрицательную дисперсию! Т.е. среднеквадратичное отклонение будет вообще комплексной величиной. Описать аналогиями явление «отрицательного рассеивания» я не в силах.
Меж тем автор, просто вписал верный ответ. Проблема кроется в той же ошибке, что и в первом случае – взята не та функция в качестве плотности.
Несмотря на формулировку «дисперсия времени безотказной работы», операция производится над функцией распределения вероятности отказа (которою автор так и не написал). Т.к. если «прибор работает 5 часов плюс/минус 30 минут», это тоже самое, что и «мат. ожидание поломки 5 часов, дисперсия 900 минут».
Поехали:

Самое занятное, что этот материал растиражирован в интернете.
В заключение: всё изложенное сугубо моё личное мнение, выражающее альтернативную трактовку реальности.
Авторы рассматриваемых материалов бесспорно молодцы, а автор заметки (impersonalis) так вообще - на «удовл.» сдал Теорию Вероятностей (и то с третей пересдачи), а всё туда же: решил выпендриться, смотрите мол «какой я умный».
Публикация материала только с указанием источника (данного сайта).

Хотелось бы выразить признательность Дяде Диме и его ночным посиделкам.