[Protey]

var
  n:integer;  //кол-во отрезков
  a:integer;  //левая граница
  b:integer;  //правая граница
  dx:real;
  rez:real;  //будущий ответ
  xi,xi1:real;  //отрезок 1 и отрезок 2
  h:real;
  y0,y1,y2,y3,y4:real;
  inter:real;  //накапливаяемая сумма
  i:integer;  //переменная, необходимая для великой миссии
  E:real;  //необходимая точность

function y(x:real):real;
begin
  Result:=sqrt(2*x+1);
end;

begin
  WriteLn('Please input border integral(a,b): ');  //просьба ввести границы интеграла
    ReadLn(a,b);  //границы интерграла
  WriteLn;
  WriteLn('Enter the desired accuracy: ');  //просьба ввести желаемую точность
    ReadLn(E);  //E - необходимая точность
  WriteLn;

  rez := 0;  //зануляем на всякий случай переменную
  n := 1;  //начальное кол-во отрезков
  dx :=(b-a)/n;

  if a >= b then WriteLn('Sorry, my bad')  //защита от дурака
    else

  for i:=0 to n-1 do
    while (rez-rez+1)/rez < E do  //собственно условие на проверку точности
      begin
         xi:=dx*i;
         xi1:=dx*(i+1);
         h:=(xi1-xi)/4;
         y0:=y(xi);
         y1:=y(xi+h);
         y2:=y(xi+2*h);
         y3:=y(xi+3*h);
         y4:=y(xi1);
         inter:=(2*h/45)*(7*y0+32*y1+12*y2+32*y3+7*y4);
         rez:=rez+inter;
      end;

 WriteLn('Response to your example: ',rez:6:5);  //ответ вашего примера
 WriteLn;
 WriteLn('Press ENTER to exit...');  //показание к действию
 ReadLn;
end. 


while (rez-rez+1)/rez < E do - вот это условие нужно поменять так, чтобы выполнялась идея:

пользователь вводит границы интеграла (а и б), необходимую точность (Е), далее машина считает до тех пор пока некая формула, имеющая в себе результат, не получит ответ менее заданной погрешности