[pax]

В твоем случае тебе надо делать так:

function Update()
    {
        if(networkView.isMine)
        {
            if(Input.GetKeyDown(KeyCode.F5))
            {
                  Application.CaptureScreenshot("Screenshoot.png");
                  StreamWriter writer = new StreamWriter("Log.txt", true)
                  writer.Write("Вы сделали скриншот!" + System.Environment.NewLine);
                  writer.Close();
            } 


Одновременно открыть файл для записи в нескольких местах нельзя.

либо так:

public class Logger
{
     public static function Log(message:String)
     {
           StreamWriter writer = new StreamWriter("Log.txt", true)
           writer.Write(message + System.Environment.NewLine);
           writer.Close();
     }
}

function Update()
{
    if(networkView.isMine)
    {
        if(Input.GetKeyDown(KeyCode.F5))
        {
             Application.CaptureScreenshot("Screenshoot.png");
             Logger.Log(("Вы сделали скриншот!");
        }  
    }  
}