первым делом надо спроецировать диагональ на грани... вариантов куча...
но мы найдём кратчайший
сразу можно заметить, что проекция диагонали пройдёт по 2-м плоскостям или по плоскости и одному ребру.
для удобтва развернём 2-е перпендикулярные плоскости в одну (1)
найдём минимальный путь от противного(примитивно, но эффективно).
начнём со случая №1 ( 2)
путь = a + a * sqr 2 = a * ( 1 + sqr 2 )
по условию сказано , что нельзя по рёбрам ходить, но мы взяли придельно близкий путь
рассмотрим случай №2 (3)
точка перегиба пути на a/4 от вершины
путь = sqr ( (a/4)^2 +a^2) + sqr ( (3*a/4)^2 + a^2) = a * sqr ( 1/16 + 1 ) + a * sqr ( 9/16 + 1)
это меньше чем случай 1
рассмотрим случай №3 (4)
возмём точку на a/3 от вершины
путь = sqr ( (a/3)^2 + a^2) + sqr ( (2 * a/3)^2 + a^2 ) = a * sqr (1/9+1) + a * (4/9 + 1 )
это в свою очередь меньше случая 2
рассмотрим случай №4 (5)
возьмём точку по центру грани
путь = 2 * sqr ( (a/2)^2 +a^2 ) = a * sqr 5
это меньше случая 3
(уже видна зависимость)
если откладывать дальше то результаты симметрично повторятся, и как мною с самого начала было заметно, что путь через середину грани будет меньшим.
|