[pax]

Самое первое приближение:

using UnityEngine;

public class Enemy : MonoBehaviour
{
    // скорость ходьбы и скорость поворота в секунду
    public float moveSpeed = 2;
    public float turnSpeed = 90;

    private CharacterController _controller;
    private Transform _thisTransform;
    private Transform _playerTransform;

    // преследуем или нет
    private bool _isPursuit = false;

    public void Start()
    {
        // Получаем контроллер
        _controller = GetComponent<CharacterController>();

        // Получаем компонент трансформации объекта, к которому привязан данный компонент
        _thisTransform = transform;

        // Получаем компонент трансформации игрока
        Player player = (Player)FindObjectOfType(typeof(Player));
        _playerTransform = player.transform;
    }

    // Все что связано с физикой выполняем в FixedUpdate
    public void FixedUpdate()
    {
        // направление на игрока
        Vector3 playerDirection = (_playerTransform.position - _thisTransform.position).normalized;

        // если не преследуем
        if (!_isPursuit)
        {
            // переменная для результата попадания
            RaycastHit hit;
            // луч
            Ray ray = new Ray(transform.position, playerDirection);

            // тест попадания луча
            if (Physics.Raycast(ray, out hit))
            {
                // рисуем луч для дебага
                Debug.DrawLine(ray.origin, hit.point, Color.yellow);

                // если попали в игрока, то начинаем преследование
                if (hit.collider.GetComponent<Player>()!= null)
                {
                    _isPursuit = true;
                }
            }

            return;
        }



        // угол поворота на игрока
        float angle = Vector3.Angle(_thisTransform.forward, playerDirection);

        // максимальный угол поворота на текущем кадре
        float maxAngle = turnSpeed * Time.deltaTime;

        // Вычисляем прямой поворот на игрока
        var playerDir = _playerTransform.position - _thisTransform.position;
        playerDir.y = 0;
        var rot = Quaternion.LookRotation(playerDir);

        // поворачиваем врага на игрока с учетом скорости поворота
        if (maxAngle < angle)
        {
            _thisTransform.rotation = Quaternion.Slerp(_thisTransform.rotation, rot, maxAngle / angle);
        }
        else
        {
            _thisTransform.rotation = rot;
        }

        // если дистанция до игрока больше трех метров
        if (Vector3.Distance(_playerTransform.position, _thisTransform.position) > 3.0f)
        {
            // двигаемся к игроку
            _controller.Move(_thisTransform.forward * moveSpeed * Time.deltaTime);
        }
        else // если меньше или равна трем метрам
        {
            // здесь например стреляем в игрока
        }

        // гравитация
        _controller.Move(Vector3.down * 10.0f * Time.deltaTime);
    }
}