ЕГЭ цистерны и бидоны

[impersonalis]

Вступление

Недавно alex-mad рассказал задачу (из образцов ЕГЭ):

В цилиндрический сосуд радиуса R1 наливают некоторый объём жидкости. Уровень жидкости (высота) = H1. Затем это объём переливают в сосуд с радиусом R2=2*R1. Как изменится высота жидкости?

Сама задача элементарна. Закономерность, лежащая в основе, многократно обыграна (см., например, "The Canterbury puzles and other curious problems" Henry E. Dudeney).
v1=v2; v=pi*(r^2)*h;
pi*h1*(r^2)=pi*h2*((2*r)^2)
h1*r^2=h2*4*r^2
h1=4*h2
Ответ: высота уменьшится в 4 раза.

alex-mad так же заметил, что в задаче подразумевается, но не указана явно ориентация сосуда (а-ля бидон). Действительно, если представить сосуд а-ля ж\д цистерна, то задача становится менее унылой. Мы быстренько прикинули решение.
Предлагаю вам попробовать:

Задача

В цистерну, поперечное сечение которой представляет собой окружность с радиусом R1, наливают некоторый объём жидкости. Жидкость занимает уровень H1 (измеренный от самой низкорасположенной точки цистерны). Затем этот объём переливают в цистерну с радиусом сечения R2=2*R1. Какой уровень H2 займёт жидкость в новой ёмкости? Считается, что вместимость "новой" цистерны позволяет принять данный объём жидкости.

аналитическая часть решения

высота сегмента с углом a, h = r(1-cos(a/2))
площадь сегмента с углом a, s = (r^2(a - sin(a)))/2

1) v1 = v2

2) l * s1 = l * s2 (l - длина цистерн, считаем равной)

3) (r^2(a - sin(a)))/2 = (4*r^2(a2 - sin(a2)))/2

4) (a2 - sin(a2)) = 4 * (a - sin(a))

численная часть решения :

5) a2 = a * k ?

судя по этому
http://www.wolframalpha.com/input/?i...%28y%29++wrt+y

a2 ~= a * 0.7

6) h2 / h1 = 2r(1-cos(a2/2)) / r(1-cos(a/2))

7) h2 / h1 = 2(1-cos(a*0.7/2)) / (1-cos(a/2))

http://www.wolframalpha.com/input/?i...%28a%2F2%29%29

зависимость не такая простая если честно, что и логично

ps. а вот нефиг давать задачу на R2 = 2 * R1 если результат зависит от абсолютного значения R1

[Taugeshtu]

Ещё можно припомнить, что в задачке не указано, одинакова ли длина цистерн. Если нет - то ещё веселее.

[impersonalis]

Сообщение от jimon

ps. а вот нефиг давать задачу на R2 = 2 * R1 если результат зависит от абсолютного значения R1

Никто не говорил, что нельзя использовать конструкции if (кусочно-заданная функция)

Сообщение от Taugeshtu

Ещё можно припомнить, что в задачке не указано, одинакова ли длина цистерн. Если нет - то ещё веселее.

Действительно - моя ошибка. Длины одинаковы

Сообщение от impersonalis

Никто не говорил, что нельзя использовать конструкции if (кусочно-заданная функция)

судя по всему там выходят совсем не линейные зависимости отношения h2\h1 от абсолютной величины изначального радиуса (те еще одна степень свободы системы)

[impersonalis]

Сообщение от jimon

судя по всему там выходят совсем не линейные зависимости отношения h2\h1 от абсолютной величины изначального радиуса

в точку.

Вот какую связь между объёмом, радиусом и высотой жидкости (L=const) я вывел (в записи я использовал жаргонизм в виде type cast "bool->int", но CAS его слопал):

в SMathStudio


Я сильно сомневаюсь, что задачу можно решить аналитически в таком виде.

[radiobutton]

извените за тупость, а что изменилось в задаче ? xD

[den]

Сообщение от radiobutton

извените за тупость, а что изменилось в задаче ? xD

условие

[FireOwl]

"Бидон" - вертикальный цилиндр.
"Цистерна" - цилиндр лежащий на боку.